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初中数学二次函数知识点归结

2019-12-09

  I。定义与定义表达式

  普通地,自变量x和因变量y之间存在以下关系:y=ax^2+bx+c

  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口偏向,a>0时,开口偏向向上,a<0时,开口偏向向下,IaI还可以决定开口大年夜小,IaI越大年夜开口就越小,IaI越小开口就越大年夜。)则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的左边平日为二次三项式。

  II。二次函数的三种表达式

  普通式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  顶点式:y=a(x—h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

  交点式:y=a(x—x)(x—x)[仅限于与x轴有交点A(x,0)和B(x,0)的抛物线]

  注:在3种情势的相互转化中,有以下关系:

  h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4ax,x=(—b±√b^2—4ac)/2a

  III。二次函数的图象

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象,可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。

  IV。抛物线的性质

  1。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=—b/2a。

  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2。抛物线有一个顶点P,坐标为:P(—b/2a,(4ac—b^2)/4a)当—b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2—4ac=0时,P在x轴上。

  3。二次项系数a决定抛物线的开口偏向和大年夜小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大年夜,则抛物线的开口越小。

  4。一次项系数b和二次项系数a合营决定对称轴的地位。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

  5。常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  6。抛物线与x轴交点个数

  Δ=b^2—4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ=b^2—4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  Δ=b^2—4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=—b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,全部式子除以2a)

  V。二次函数与一元二次方程

  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0

  此时,函数图象与x轴有没有交点即方程有没有实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

  1.二次函数y=ax^2,y=a(x—h)^2,y=a(x—h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象外形雷同,只是地位不合,它们的顶点坐标及对称轴以下表:

image.png

  当h>0时,y=a(x—h)^2的.图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位取得,

  当h<0时,则向左平行移动|h|个单位取得.

  当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,便可以取得y=a(x—h)^2+k的图象;

  当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可取得y=a(x—h)^2+k的图象;

  当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可取得y=a(x—h)^2+k的图象;

  当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可取得y=a(x—h)^2+k的图象;

  是以,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,经过过程配方,将普通式化为y=a(x—h)^2+k的情势,可肯定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大年夜体地位就很清楚了.这给画图象供给了便利.

  2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=—b/2a,顶点坐标是(—b/2a,[4ac—b^2]/4a).

  3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤—b/2a时,y随x的增大年夜而减小;当x≥—b/2a时,y随x的增大年夜而增大年夜.若a<0,当x≤—b/2a时,y随x的增大年夜而增大年夜;当x≥—b/2a时,y随x的增大年夜而减小.

  4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

  (1)图象与y轴必定订交,交点坐标为(0,c);

  (2)当△=b^2—4ac>0,图象与x轴交于两点A(x,0)和B(x,0),个中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  (a≠0)的两根.这两点间的间隔AB=|x—x|

  当△=0.图象与x轴只要一个交点;

  当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.

  5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:假设a>0(a<0),则当x=—b/2a时,y最小(大年夜)值=(4ac—b^2)/4a.

  顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

  6.用待定系数法求二次函数的解析式

  (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为普通情势:

  y=ax^2+bx+c(a≠0).

  (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x—h)^2+k(a≠0).

  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x—x)(x—x)(a≠0).

  7.二次函数知识很轻易与其它知识综合应用,而构成较为复杂的综合标题。是以,以二次函数知识为主的综合性标题是中考的热点考题,常常以大年夜题情势出现.